09.03.2017 / by maximios / Выставки / No Comments

Билеты линейной алгебре



Билеты линейной алгебре

 

1. Определитель матрицы, влияние элементарных преобразований на определитель матрицы.

2. Произведение матриц, условие существования и вычисление обратной матрицы.

3. Ранг матрицы, влияние элементарных преобразований на него. Ранг ступенчатой матрицы.

4. Система линейных уравнений, основные определения, теорема Крамера.

5. Свойство решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений.

6. Структура общего решения однородной системы, понятие ФСР.

7. Структура общего решения неоднородной системы.

8. Теорема Кронекера-Капелли.

9. Определение линейного пространства, общие свойства.

10. Теорема о линейной зависимости векторов, понятие линейной оболочки.

11. Базис линейного пространства, теорема о размерности.

12. Матрица перехода от одного базиса к другому, связь координат векторов в старом и новом базисе. Теорема о дополнении до базиса.

13. Понятие подпространства, сумма и пересечение.

14. Теорема о размерности суммы подпространств.

15. Теорема о дополнении суммы подпространств, до пространства. (пуст L линейное пространство, а R – подпространство, тогда есть такое подпространство R1, что R+ R1= L)

16. Линейное преобразование матриц (операторы). Операции, сумма, умножение, суперпозиция, связь с матрицей.

17. Изменение матрицы линейных преобразований при переходе в другой базис.

18. Ядро и образ линейного оператора, свойства: подпространства, сумма размерностей=размерности подпространства)

19. Невырожденные линейные операторы и их свойства.

20. Образ оператора, необходимость и достаточность существования матрицы.

21. Инвариативные подпространства, свойства, примеры.

22. Собственные вектора и собственные значения линейных операторов, инвариативность характеристического уравнения, линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным числам.

23. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника.

24. Существование ортонормированного базиса евклидова пространства (метод ортогонализации). Вид скалярного произведения в ортонормированном базисе.

25. Понятие ортонормированного дополнения.

26. Критерий равенства линейных операторов через скалярное произведение.

27. Операция сопряжения операторов, её совойства.

28. Самосопряженный оператор, его матрица в ОНБ.

29. Ортогональные операторы их свойства, матрицы.

30. Инвариативность подпространства у самосопряженных ортогональных операторов.

31. Существование одномерного и двумерного инвариативного подпространства у любого оператора.

32. Теорема о диагонализации самомопряженного линейного оператора, существование базиса из собственных векторов.

33. Существование линейной формы.

34. Билинейные формы, её матрица, симметричные и кососимметричные билинейны е формы.

35. Квадратичная форма, канонический и нормальный виды. Привод к каноническому виду методом Лагранжа, без доказательств.

36. Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы, положительны е и отрицательные индексы инерции квадратичной формы, дефект квадратичной формы. Закон инерции квадратичной формы. Критерий Сильвестра, без доказательства.

37. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональными преобразованиями.


Задачи
1. Умножение матриц, обратные матрицы, ранг.

2. Система линейных уравнений, теорема Краммера, однородные и неоднородные решения , ФСР.

3. Проверка на базисность.

4. Образ ядра оператора.

5. Составление матрицы перехода, сзазь координат.

6. Совбственные числа и вектора.

7. Метод ортогонализации, дополнение до базиса.

8. Квадратичные формы, Лагранж, критерий Сильвестра

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *